似然函数

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。"似然性"与"或然性"或"概率"意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，"似然性"和"或然性"或"概率"又有明确的区分。

概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作$P(A|B)$。

$P(A\mid B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}$

利用贝叶斯定理，

$P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数$L(B|A)$，我们估计参数B的可能性。

形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

$b\mapsto P(A\mid B=b)$

注意到这里并不要求似然函数满足归一性：${\sum }_{b\in \mathcal{B}}P(A\mid B=b)=1$。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有$\alpha >0$，都可以有似然函数：$L(b\mid A)=\alpha P(A\mid B=b)$

例子：

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是$P_H=0.5$，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。其中$H$表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有$P_H$的概率正面朝上，而有$1-P_H$的概率反面朝上。这时，条件概率可以改写成似然函数：

$L(P_H=0.5\mid \mathrm{HH})=P(\mathrm{HH}\mid P_H=0.5)=0.25$

也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，$P_H=0.5$的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时$P_H=0.5$的概率是0.25）。

如果考虑$P_H=0.6$，那么似然函数的值也会改变。

$L(P_H=0.6\mid \mathrm{HH})=P(\mathrm{HH}\mid P_H=0.6)=0.36$

注意到似然函数的值变大了。这说明，如果参数$P_H$的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设$P_H=0.5$时更大。也就是说，参数$P_H$取成0.6要比取成0.5更有说服力，更为"合理"。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为"合理"的参数值。

在这个例子中，似然函数实际上等于：

$L(P_H=\theta \mid \mathrm{HH})=P(\mathrm{HH}\mid P_H=\theta )={\theta }^2$，其中$0\le P_H\le 1$

如果取$P_H=1$，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：

$L(P_H=\theta \mid \mathrm{HHT})=P(\mathrm{HHT}\mid P_H=\theta )={\theta }^2(1-\theta )$，其中$T$表示反面朝上，$0\le P_H\le 1$

这时候，似然函数的最大值将会在$P_H=\frac{2}{3}$的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时，估计硬币投掷时正面朝上的概率$P_H=\frac{2}{3}$是最合理的。

观测数据已知时，后验概率$\propto$似然函数$\times$先验概率