通信笔记
推荐看原书《通信之道——从微积分到5G》
信号与系统
离散系统
叠加性:
数乘性:
移不变性(连续系统:时不变性):如果输入信号延时了一段时间,那么输出信号也延时相同的时间。
设,则
不要把系统H理解为一个函数
离散卷积
是线性系统
定义:
若该系统为移不变系统,则有
带入可得
上式就是经典的离散卷积
注意,,移不变系统并不是反折不变,即,而实际上,因为,所以
如果是因果系统,时刻系统的输出信号只与该时刻之 前的输入信号有关,而和该时刻之后的输入信号无关,即,因此,求和的上限可以取为
注意,在离散卷积的推导过程当中,用到了线性系统和移不变的条件,这是卷积成立的前提。对于非线性系统,卷积就不适用了。对于移变线性系统,线性条件还满足,只是冲激响应随着输入信号的时刻在发生变化,只要在冲激响应上增加一个表示移变的变量就可以了。
概念的扩展
为什么先前人们会觉得分数或者叫有理数,可以表示所有的数呢?这是因为任意一个数,都可以用一个有理数无限逼近。用数学语言去说,就是有理数在实数轴上是稠密的。
[定义:稠密]有集合。如果B当中的任意一个邻域,都存在一个使得,则称集合A在集合B中稠密。
以实数轴上的任何一个点为中心,做一个任意小的开区间,这个区间内一定有至少一个,实际上是无穷多个有理数,所以用有理数可以任意逼近任何一个点,也就是有理数在实数当中是稠密的。
但是有理数集合不是完备的。完备也是一个数学概念。
[定义:完备]假设,·是集合S当中的序列,如果对于任意的e>0,都存在正整数N,使得当时,有成立,则称此序列为柯西序列。如果所有的柯西序列收敛,也就是,则称S完备。
我们现在知道了是一个无理数。 我们构造这样的一个序列1.4,1.41,1.414,1.4142,序号每增加1,就在上多取一位有效数字。这个序列是一个有理数列,而且随着序号的增加,相邻两项的差也趋向于零,是一个柯西序列。但是这个序列收敛到,是一个无理数。也就是说,在有理数的集合里面,序列是不收敛的,所以有理数集合不完备。
柯西序列,随着序号的增加,相邻项的距离越来越小,从我们的感觉上来说,它应该有一个极限。但是对于一个不完备的集合,这个极限点却可能不在这个集合里面,就变成了无极限了。这让我们感觉很不好,那么就把这些极限点都包括进来,形成一个更大的集合,这样柯西序列就收敛了,这个更大的集合就是一个完备的集合。
有理数->无理数,正数->负数->复数
傅里叶分析
傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数
假设一个周期信号为,它的周期为,也就是说,,其角频率为,如果满足狄里赫利条件(Dirichlet condition),则可以表达成为傅里叶级数:
狄里赫利条件是指,一个周期信号满足以下条件。
- 在任意一个周期内,有限个间断点:
- 在任意一个周期内,有限的极大值与极小值:
- 在任意一个周期内,其绝对值可积。
可以这么说,实际当中的所有周期信号都满足狄里赫利条件,不满足此条件的都是数学家们刻意构造的。
理解负频率
频率只能是一个非负的实数,而在复指数的傅里叶级数当中出现了负频率,如何理解呢? 可以简单地说,负频率只是数学方法,并没有实际的物理意义。虽然如此,负频率在物理上还是有一些意义的。
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负频率是由复指数带来的。由欧拉公式可以知道,一个正弦信号表达为复指数的时候,出现了一个正的频率和一个负的频率。因为虚数单位2=一1是一个数学方法,在物理上并不存在,所以伴随复指数而出现的负频率也是一个数学方法。
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一个实数信号的复指数傅里叶级数,正频率和负频率存在对偶关系。从公式(53)可以看出,正、负频率的傅里叶系数,实部相等,虚部相反,或者说幅度相等,相位相反,是一对共轭复数。由于存在这种共轭关系,它们互相可以决定对方,因此正频率和负频率所承载的信息是一样的。
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学习过调制技术的同学知道,当把基带信号调制到载波频率上的时候 ,是用一个载波信号去乘以被调制信号,假设被调制信号为,则
对调制有一个通俗的说法,叫作“频谱搬移”,意思是把基带信号搬移到载波频率上去。从上面的公式我们发现,一个频率的信号经过调制后出现了和两个频率。可以认为,是搬移负频率得到的,是搬移正频率得到的。这两个频率关于载波频率对称,叫作双边频谱。它们承载相同的信息,是对频谱的浪费。所以基带信号要采用复信号来提高频谱利用率。
傅里叶变换
周期信号可以用傅里叶级数来表达,傅里叶系数又叫作离散频谱,因为谱线只出现在的整数倍上。把这个概念推广到非周期信号,就可以得到傅里叶变换。
为了取得与后续的傅里叶变换在符号标记上的一致性,我们用代替前面用到的。一个周期为,角频率的周期信号,其复指数傅里叶级数为
其中,
非周期信号可以认为是周期无限大的周期信号。如果让周期,则谱线的间距,离散频谱变成了连续频谱。
傅里叶变换记作:
谱密度
傅里叶系数是无量纲的。而傅里叶变换
带有时间的量纲,是一个频谱密度的概念。
傅里叶变换的性质
对称性
奇偶虚实性
- 对于一个偶函数,有,那么有。也就是说,偶函数的傅里叶变换也是偶函数。
- 对于一个奇函数,有,那么有。也就是说,奇函数的傅里叶变换也是奇函数。
- 实函数的傅里叶变换的实部是偶函数,虚部是奇函数;傅里叶变换的幅度是偶函数,相位是奇函数。
- 实偶函数的傅里叶变换是实偶函数。
尺度变换
尺度变换因子对时域和频域的作用是相反的。
时移特性
这意味着,时域的时移对应频域的相移。相同的时移,对不同频率的相移不同。频率越高,相移越大。
频移特性
无线通信里的调制技术采用的就是这种原理。将基带信号乘以一个高频的载波信号,相当于把频谱搬移了.
卷积定理
频域卷积定理的意思是说,时域两个信号的乘,在频域变成了卷积运算。或者倒过来说,频域的两个信号的卷积,在时域变成了乘积。
频率特性
一个线性时不变系统可以用冲激响应完全刻划其特性,频率特性频率特性只适合于线性时不变系统
离散傅里叶变换(DFT)
正变换就是求频域系数
逆变换就是利用频域的系数合成原来的信号
在离散傅里叶变换当中,当中一共有N个离散频率,不同频率的复指数信号具有两两正交性。从线性空间的角度来看,这N个复指数信号构成了N维线性复空间的一组正交基,任何的信号都可以表达成这组基的线性组合。离散傅里叶变换就是求一个离散序列在这组正交基下的坐标。
离散信号的连续傅里叶变换(FT)
X(w)的定义域可以认为是,是以为周期的周期函数,离散傅里叶变换内是的采样。利用的一个周期可以合成时域离散信号,就是连续反变换,用的均匀N个采样也可以合成时域离散信号,就是离散反变换。
区分线性卷积、周期卷积、循环卷积及其计算方法
线性卷积
这是最常见的卷积方式,若被卷积序列与的序列长度分别为和,则卷积得到的序列长为,计算线性卷积的简单方法为进位保留法,得到